微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (n x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (n x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (n x)}{\cos (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}$ 转换成 $\tan (n x)$ 。

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \csc (x)$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x) \csc (x)$

解题步骤 3

计算左极限。

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解题步骤 3.1

将 $\tan (n x) \csc (x)$ 重写为 $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 3.2

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 3.2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.2.1.2.1.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{-}} n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2

因为项 $n$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 3.2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.2.1.2.3.1

将 $n$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 3.2.1.2.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 3.2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.2.1.3.1

应用三角恒等式。

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解题步骤 3.2.1.3.1.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 \sin (x)}$

解题步骤 3.2.1.3.1.3

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}$

解题步骤 3.2.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}$

解题步骤 3.2.1.3.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 3.2.1.3.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2.1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 3.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 3.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = n x$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $n x$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 3.2.3.2.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 3.2.3.2.3

使用 $n x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 3.2.3.3

因为 $n$ 对于 $x$ 是常数，所以 $n x$ 对 $x$ 的导数是 $n \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 3.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 3.2.3.5

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 3.2.3.6

重新排序 $\sec^{2} (n x) n$ 的因式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 3.2.3.7

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

解题步骤 3.2.3.8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

解题步骤 3.2.3.9

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.2.3.10

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\sec (n x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.4.2

对 $\frac{1}{\cos (n x)}$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.4.3

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.5

组合 $n$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.6

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.7

合并。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

解题步骤 3.2.8

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

解题步骤 3.2.9

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

解题步骤 3.2.10

分离分数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

解题步骤 3.2.11

将 $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ 转换成 $\sec^{2} (n x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 3.2.12

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 3.2.13

分离分数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 3.2.14

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

解题步骤 3.2.15

用 $n$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

解题步骤 3.3

计算极限值。

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解题步骤 3.3.1

因为项 $n$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

解题步骤 3.3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 3.3.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 3.3.4

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (n x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{-}} \sec (n x))}^{2}$

解题步骤 3.3.5

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{-}} n x)$

解题步骤 3.3.6

因为项 $n$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

解题步骤 3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

解题步骤 3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

解题步骤 3.5

化简答案。

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解题步骤 3.5.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

解题步骤 3.5.2

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

解题步骤 3.5.3

将 $n$ 乘以 $0$ 。

$n \cdot \sec^{2} (0)$

解题步骤 3.5.4

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$n \cdot 1^{2}$

解题步骤 3.5.5

一的任意次幂都为一。

$n \cdot 1$

解题步骤 3.5.6

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$n$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x) \csc (x)$

解题步骤 5

计算右极限。

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解题步骤 5.1

将 $\tan (n x) \csc (x)$ 重写为 $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 5.2

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 5.2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{+}} n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

因为项 $n$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 5.2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 5.2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 5.2.1.2.3.1

将 $n$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 5.2.1.2.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

解题步骤 5.2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.2.1.3.1

应用三角恒等式。

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解题步骤 5.2.1.3.1.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 \sin (x)}$

解题步骤 5.2.1.3.1.3

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

解题步骤 5.2.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

解题步骤 5.2.1.3.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 5.2.1.3.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2.1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 5.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 5.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = n x$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $n x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 5.2.3.2.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 5.2.3.2.3

使用 $n x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 5.2.3.3

因为 $n$ 对于 $x$ 是常数，所以 $n x$ 对 $x$ 的导数是 $n \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 5.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 5.2.3.5

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 5.2.3.6

重新排序 $\sec^{2} (n x) n$ 的因式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

解题步骤 5.2.3.7

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

解题步骤 5.2.3.8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

解题步骤 5.2.3.9

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.2.3.10

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\sec (n x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.4.2

对 $\frac{1}{\cos (n x)}$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.4.3

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.5

组合 $n$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.6

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.7

合并。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

解题步骤 5.2.8

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

解题步骤 5.2.9

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

解题步骤 5.2.10

分离分数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

解题步骤 5.2.11

将 $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ 转换成 $\sec^{2} (n x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 5.2.12

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 5.2.13

分离分数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 5.2.14

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

解题步骤 5.2.15

用 $n$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

解题步骤 5.3

计算极限值。

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解题步骤 5.3.1

因为项 $n$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

解题步骤 5.3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 5.3.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

解题步骤 5.3.4

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (n x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \sec (n x))}^{2}$

解题步骤 5.3.5

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{+}} n x)$

解题步骤 5.3.6

因为项 $n$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

解题步骤 5.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

解题步骤 5.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

解题步骤 5.5

化简答案。

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解题步骤 5.5.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

解题步骤 5.5.2

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

解题步骤 5.5.3

将 $n$ 乘以 $0$ 。

$n \cdot \sec^{2} (0)$

解题步骤 5.5.4

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$n \cdot 1^{2}$

解题步骤 5.5.5

一的任意次幂都为一。

$n \cdot 1$

解题步骤 5.5.6

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$n$

解题步骤 6

因为左极限等于右极限，所以极限等于 $n$ 。

$n$

微积分学 示例

微积分学示例