微积分学示例

$\int \frac{2 e^{\frac{1}{x^{2}}}}{3 x^{3}} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} \int \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

使 $u = \frac{1}{x^{2}}$ 。然后使 $d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ ，以便 $1 d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \frac{1}{x^{2}}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\frac{1}{x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 2 x^{- 3}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.1.4.2

合并项。

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解题步骤 2.1.4.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{3}}$

解题步骤 2.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2}{6} \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (1)}{6} \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

解题步骤 6

化简。

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

解题步骤 7

使用 $\frac{1}{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{2}}} + C$

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