微积分学示例

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} - \frac{1}{x + 3}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{6}{9 - x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{x + 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(9 - x^{2}) (x + 3)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{6}{9 - x^{2}}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{x + 3}$ 乘以 $\frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{9 - x^{2}}{(x + 3) (9 - x^{2})}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x + 3) (9 - x^{2})$ 的因式。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{9 - x^{2}}{(9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{(9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 3} 6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2

将 $- 3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $6 (x + 3) - (9 - x^{2})$ 的极限值。

$\frac{6 (- 3 + 3) - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{6 \cdot 0 - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.3.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0 - (9 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{0 - (9 - 9)}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.2.4

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 9 - x^{2} \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 3} 9 - lim_{x \to - 3} x^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.3.3

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(9 - lim_{x \to - 3} x^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.3.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.3.5

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3)}$

解题步骤 2.1.3.6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + 3)}$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.7.1

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(9 - {(- 3)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + 3)}$

解题步骤 2.1.3.7.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(9 - {(- 3)}^{2}) \cdot (- 3 + 3)}$

解题步骤 2.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.8.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{(9 - 1 \cdot 9) \cdot (- 3 + 3)}$

解题步骤 2.1.3.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{0}{(9 - 9) \cdot (- 3 + 3)}$

解题步骤 2.1.3.8.2

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (- 3 + 3)}$

解题步骤 2.1.3.8.3

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.8.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.8.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{(9 - x^{2}) (x + 3)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3) - (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3) - (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $6 (x + 3) - (9 - x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 (x + 3)] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3)] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 (x + 3)]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 (x + 3)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x + 3]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.3.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (9 - x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.4.2

根据加法法则， $9 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.4.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - (2 x))}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.4.7

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.4.8

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 + 2 x}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 9 - x^{2}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 2.3.7

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 2.3.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 2.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 2.3.11

将 $9 - x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 2.3.12

根据加法法则， $9 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}$

解题步骤 2.3.13

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}$

解题步骤 2.3.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 2.3.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

解题步骤 2.3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- (2 x))}$

解题步骤 2.3.17

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- 2 x)}$

解题步骤 2.3.18

化简。

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解题步骤 2.3.18.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + x (- 2 x) + 3 (- 2 x)}$

解题步骤 2.3.18.2

合并项。

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解题步骤 2.3.18.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 (x^{1} x) + 3 (- 2 x)}$

解题步骤 2.3.18.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 2 x)}$

解题步骤 2.3.18.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{1 + 1} + 3 (- 2 x)}$

解题步骤 2.3.18.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{2} + 3 (- 2 x)}$

解题步骤 2.3.18.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{2} - 6 x}$

解题步骤 2.3.18.2.6

从 $- x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - 3 x^{2} - 6 x}$

解题步骤 2.3.18.3

重新排序项。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 3} 2 x + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

解题步骤 3.1.2.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

解题步骤 3.1.2.1.3

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to - 3} x + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot - 3 + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{- lim_{x \to - 3} 3 x^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

解题步骤 3.1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{- 3 lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

解题步骤 3.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

解题步骤 3.1.3.4

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}$

解题步骤 3.1.3.5

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + 9}$

解题步骤 3.1.3.6

将 $- 3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.6.1

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 3 {(- 3)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + 9}$

解题步骤 3.1.3.6.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 3 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

解题步骤 3.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.7.1.1

通过指数相加将 $- 3$ 乘以 ${(- 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.3.7.1.1.1

将 $- 3$ 乘以 ${(- 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.3.7.1.1.1.1

对 $- 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0}{{(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

解题步骤 3.1.3.7.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0}{{(- 3)}^{1 + 2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

解题步骤 3.1.3.7.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} - 6 \cdot - 3 + 9}$

解题步骤 3.1.3.7.1.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{0}{- 27 - 6 \cdot - 3 + 9}$

解题步骤 3.1.3.7.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{0}{- 27 + 18 + 9}$

解题步骤 3.1.3.7.2

将 $- 27$ 和 $18$ 相加。

$\frac{0}{- 9 + 9}$

解题步骤 3.1.3.7.3

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.7.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{- 3 x^{2} - 6 x + 9} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

解题步骤 3.3.6

根据加法法则， $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

解题步骤 3.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

解题步骤 3.3.7.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

解题步骤 3.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 3.3.8.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}$

解题步骤 3.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}$

解题步骤 3.3.8.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 + 0}$

解题步骤 3.3.10

将 $- 6 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 和 $- 6 x - 6$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{- 6 x - 6}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{2 (- 3 x) - 6}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1}{2 (- 3 x) + 2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.4.2.3

从 $2 (- 3 x) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{2 (- 3 x - 3)}$

解题步骤 3.4.2.4

约去公因数。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1}{2 (- 3 x - 3)}$

解题步骤 3.4.2.5

重写表达式。

$lim_{x \to - 3} \frac{1}{- 3 x - 3}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} - 3 x - 3}$

解题步骤 4.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to - 3} - 3 x - 3}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- lim_{x \to - 3} 3 x - lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 4.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 4.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 5

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 3 \cdot - 3 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 6

化简分母。

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解题步骤 6.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{9 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{9 - 3}$

解题步骤 6.3

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{6}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{6}$

小数形式：

$0.1\overline{6}$

微积分学 示例

微积分学示例