微积分学示例

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

解题步骤 4

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- d u = \sin (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 4.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 $u^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

解题步骤 7.2

将 ${(u^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

解题步骤 7.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int u^{- 5} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{- 5}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ 。

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $u^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

解题步骤 9.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 4}$ 移动到分母。

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

解题步骤 9.2

化简。

$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{1}{4 u^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

解题步骤 10

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

解题步骤 11.2

分离分数。

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

解题步骤 11.3

将 $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 转换成 $\sec^{4} (x)$ 。

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

解题步骤 11.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

解题步骤 11.5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sec^{4} (x)$ 。

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

解题步骤 11.6

重新排序项。

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

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