微积分学示例

${(\frac{1}{2})}^{4 x}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{d}{d u} [{(\frac{1}{2})}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $\frac{1}{2}$ 。

${(\frac{1}{2})}^{u} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2^{2} {(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 重写为 $2^{- 1}$ 。

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2^{2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

将 ${(2^{- 1})}^{4 x}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{2} \cdot 2^{- (4 x)} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$2^{2} \cdot 2^{- 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \cdot 1$

解题步骤 9

将 $2^{2 - 4 x}$ 乘以 $1$ 。

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2})$

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