微积分学示例

$\int_{4}^{6} \frac{x^{2} + 2}{x - 2} d x$

解题步骤 1

用 $x^{2} + 2$ 除以 $x - 2$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					+	$2 x$	-	$4$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x - 4$ 中的所有符号

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$6$

解题步骤 1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{4}^{6} x + 2 + \frac{6}{x - 2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{4}^{6} x d x + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

解题步骤 5

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{4}^{6} \frac{1}{x - 2} d x$

解题步骤 6

使 $u = x - 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x - 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 6.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 - 2$

解题步骤 6.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 6 - 2$

解题步骤 6.5

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 6.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6}$ 和 $2 x]_{4}^{6}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ 在 $6$ 处和在 $4$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

解题步骤 9.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 36 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $36$ 。

$\frac{36}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.3

约去 $36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 18}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{18}{1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.3.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$18 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.4

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$18 + 12 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.5

将 $18$ 和 $12$ 相加。

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.6

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 16 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $16$ 。

$30 - (\frac{16}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.8

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.8.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.8.2.2

约去公因数。

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.8.2.3

重写表达式。

$30 - (\frac{8}{1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.8.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$30 - (8 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.9

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$30 - (8 + 8) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.10

将 $8$ 和 $8$ 相加。

$30 - 1 \cdot 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.11

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$30 - 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 9.3.12

从 $30$ 中减去 $16$ 。

$14 + 6 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$14 + 6 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$14 + 6 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

解题步骤 11.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$14 + 6 \ln (\frac{4}{2})$

解题步骤 11.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$14 + 6 \ln (2)$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$14 + 6 \ln (2)$

小数形式：

$18.15888308 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

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