微积分学示例

$\int_{\frac{1}{18}}^{\frac{1}{6}} \csc (3 π t) \cot (3 π t) d t$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \csc (3 π t)$ 。然后使 $d u_{2} = - 3 π \cot (3 π t) \csc (3 π t) d t$ ，以便 $\frac{1}{- 3 π} d u_{2} = \cot (3 π t) \csc (3 π t) d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \csc (3 π t)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\csc (3 π t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\csc (3 π t)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \csc (t)$ 且 $g (t) = 3 π t$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 π t$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 π t]$

解题步骤 1.1.2.2

$\csc (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 。

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 π t]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $3 π t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \csc (3 π t) \cot (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3 π$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 π t$ 对 $t$ 的导数是 $3 π \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \csc (3 π t) \cot (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.1.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) (π \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) π$

解题步骤 1.1.3.4.2

重新排序 $- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) π$ 的因式。

$- 3 π \cot (3 π t) \csc (3 π t)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \csc (3 π t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \csc (3 π \frac{1}{18})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{lower} = \csc (3 (π) \frac{1}{18})$

解题步骤 1.3.1.2

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{lower} = \csc (3 (π) \frac{1}{3 (6)})$

解题步骤 1.3.1.3

约去公因数。

$u_{lower} = \csc (3 π \frac{1}{3 \cdot 6})$

解题步骤 1.3.1.4

重写表达式。

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

解题步骤 1.3.2

组合 $π$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3

$\csc (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $2$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \csc (3 π t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \csc (3 π \frac{1}{6})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{upper} = \csc (3 (π) \frac{1}{6})$

解题步骤 1.5.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{upper} = \csc (3 (π) \frac{1}{3 (2)})$

解题步骤 1.5.1.3

约去公因数。

$u_{upper} = \csc (3 π \frac{1}{3 \cdot 2})$

解题步骤 1.5.1.4

重写表达式。

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

解题步骤 1.5.2

组合 $π$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5.3

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 3 π} d u_{2}$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{3 π} d u_{2}$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{3 π} u_{2}]_{2}^{1}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $- \frac{1}{3 π} u_{2}$ 在 $1$ 处和在 $2$ 处的值。

$(- \frac{1}{3 π} \cdot 1) + \frac{1}{3 π} \cdot 2$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3 π} + \frac{1}{3 π} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{1}{3 π}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{3 π} + \frac{2}{3 π}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 2}{3 π}$

解题步骤 4.2.4

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{3 π}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{3 π}$

小数形式：

$0.10610329 \dots$

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