微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{x - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.7.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.8.1.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.8.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.5

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x - 1}$ 重写成 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3.3

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.4

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.10

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.11

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.12

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.14

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.16

组合 $\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.17

将 $2$ 移到 ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.19

约去公因数。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.20

重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分数指数转换为根式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4.2

将 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{2 x - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{1}$

解题步骤 1.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

要将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{1}$

解题步骤 1.5.2

要将 $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

解题步骤 1.5.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 \sqrt{x} \sqrt{2 x - 1}$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{x} \sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.2

使用根数乘积法则进行合并。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ 乘以 $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 x - 1} (2 \sqrt{x})}}{1}$

解题步骤 1.5.3.4

使用根数乘积法则进行合并。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}}{1}$

解题步骤 1.5.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}}{1}$

解题步骤 1.6

用 $\frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{\sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.9

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.10

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} (2 x - 1) x}}$

解题步骤 2.11

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 2.12

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 2.13

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 2.14

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 3.4

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

解题步骤 4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

解题步骤 4.1.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

解题步骤 4.1.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

解题步骤 4.1.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \cdot 1}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

解题步骤 4.1.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

解题步骤 4.1.7

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

解题步骤 4.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

将 $2 \cdot 1 - 1 \cdot 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 - 1}}$

解题步骤 4.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 4.2.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{1}$

解题步骤 4.3

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 4.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2}$

小数形式：

$- 0.5$

微积分学 示例

微积分学示例