微积分学示例

$\int_{0}^{2} y^{2} \sqrt{1 + y^{3}} d y$

解题步骤 1

使 $u = 1 + y^{3}$ 。然后使 $d u = 3 y^{2} d y$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + y^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + y^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 + y^{3}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $1 + y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 + 3 y^{2}$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $3 y^{2}$ 相加。

$3 y^{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + y^{3}$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + y^{3}$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = 1 + 8$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.6

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.7

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.7.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.7.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 6.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3})$

解题步骤 6.2.10

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 6.2.11

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 6.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

解题步骤 6.2.13

化简分子。

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解题步骤 6.2.13.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

解题步骤 6.2.13.2

从 $54$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3}$

解题步骤 6.2.14

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{52}{3}$ 。

$\frac{52}{3 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.15

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{52}{9}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{52}{9}$

小数形式：

$5.\overline{7}$

带分数形式：

$5 \frac{7}{9}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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