微积分学示例

$y = 3^{\ln (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{\ln (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 3^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3

合并分数。

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解题步骤 3.3.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $3^{\ln (x)}$ 。

$\frac{3^{\ln (x)}}{x} \ln (3)$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{3^{\ln (x)}}{x}$ 和 $\ln (3)$ 。

$\frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

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