微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1.2.5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1.2.5.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

解题步骤 1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

解题步骤 1.3.3

将极限移入对数中。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

解题步骤 1.3.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

解题步骤 1.3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

解题步骤 1.3.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.3.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.8.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{3 \ln (1) - 3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.8.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.8.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.8.1.4

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.3.8.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.8.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $3 \ln (x + 1) - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.7

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.8

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3}$

解题步骤 3.9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.1

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.1.1

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.1.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{- 3 (x + 1)}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.2.1

从 $3 - 3 (x + 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.2.1.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.2.1.2

从 $- 3 (x + 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) + 3 (- (x + 1))}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.2.1.3

从 $3 (1) + 3 (- (x + 1))$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - (x + 1))}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.2.2

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1 \cdot 1)}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1)}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.2.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (- x + 0)}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.2.5

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 \cdot - 1 x}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.2.6

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.2.6.1

提取负因数。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- (3 x)}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.2.6.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- 3 x}{x + 1}}$

解题步骤 3.9.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{- \frac{3 x}{x + 1}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

解题步骤 5

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

解题步骤 6

当 $x$ 的值从左侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\infty$

解题步骤 7

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

解题步骤 8

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递减。

$- \infty$

解题步骤 9

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

微积分学示例