微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 7 x + 1} - x$

解题步骤 1

相乘以使分子有理化。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL（先外后内）展开分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 7 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 7 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

解题步骤 2.2.2

将 $7 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

解题步骤 3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.1.2

用 $7$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.2.2.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.2.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.5

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6.2

将极限移入根号内。

$\frac{7 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{7 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6.5

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + 0} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + 0} + 1}$

解题步骤 9.2

化简答案。

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解题步骤 9.2.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + 0} + 1}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $1 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

解题步骤 9.2.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{\sqrt{1} + 1}$

解题步骤 9.2.2.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{7}{1 + 1}$

解题步骤 9.2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7}{2}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7}{2}$

小数形式：

$3.5$

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