微积分学示例

$\sqrt[3]{x} - 3 x^{3}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sqrt[3]{x} - 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 3 (3 x^{2})$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 9 x^{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 9 x^{2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 9 x^{2}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$- 9 x^{2} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

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