微积分学示例

$e^{\frac{x}{y}} = x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\frac{x}{y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.5

组合 $e^{\frac{x}{y}}$ 和 $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 1$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 1 y^{2}$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 1 y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

重写表达式。

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = 1 y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = 1 y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = 1 y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3.2

将 $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ 中的因式重新排序。

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3.3

移动 $x$ 。

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3.4

将 $y e^{\frac{x}{y}}$ 和 $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ 重新排序。

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = y^{2}$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $y e^{\frac{x}{y}}$ 。

$- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ 中的每一项除以 $- x e^{\frac{x}{y}}$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ 中的每一项都除以 $- x e^{\frac{x}{y}}$ 。

$\frac{- y' x e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y' x e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' x e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' e^{\frac{x}{y}}}{e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

解题步骤 5.3.2.2.3

约去 $e^{\frac{x}{y}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' e^{\frac{x}{y}}}{e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

解题步骤 5.3.2.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

解题步骤 5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

解题步骤 5.3.2.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}}$

解题步骤 5.3.2.3.1.3

约去 $e^{\frac{x}{y}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.3.1.3.1

约去公因数。

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}}$

解题步骤 5.3.2.3.1.3.2

重写表达式。

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y}{x}$

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