微积分学示例

$\int_{0}^{1} x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 2} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{3} + 2$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{3} + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{3} + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{3} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{3} + 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{3} + 2$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 2$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{3} + 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{3} + 2$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 2$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{3}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $3^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $3^{1}$ 移动到分子。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3

通过指数相加将 $3^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $3^{- 1}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

移动 $3^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.4

组合 $2^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

解题步骤 6.2.5

通过指数相加将 $2^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $2^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 6.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

解题步骤 6.2.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

解题步骤 6.2.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

解题步骤 6.2.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

解题步骤 6.2.5.4

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2

乘以 $\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 7.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

解题步骤 7.3

乘以 $\frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 7.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

解题步骤 7.4

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $3^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

解题步骤 7.4.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.4.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

解题步骤 7.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{3^{1 - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2}{3^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

解题步骤 7.4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3^{\frac{2 - 1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

解题步骤 7.4.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

小数形式：

$0.52616117 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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