微积分学示例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 + \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 + \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 + \sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $3 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 + \cos (x)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\cos (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 3 + \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.4

在公分母上合并分子。

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

解题步骤 1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

解题步骤 1.3.5.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 3 + \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 3 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

解题步骤 3

计算 $\ln (| u |)$ 在 $4$ 处和在 $\frac{7}{2}$ 处的值。

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

解题步骤 4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

解题步骤 5.2

$\frac{7}{2}$ 约为 $3.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

解题步骤 5.4

乘以 $4 (\frac{2}{7})$ 。

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解题步骤 5.4.1

组合 $4$ 和 $\frac{2}{7}$ 。

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

解题步骤 5.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\ln (\frac{8}{7})$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\frac{8}{7})$

小数形式：

$0.13353139 \dots$

微积分学 示例

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