微积分学示例

$\int 4 x^{2} {(4 x - 5)}^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{2} {(4 x - 5)}^{2} d x$

解题步骤 2

展开 $x^{2} {(4 x - 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(4 x - 5)}^{2}$ 重写为 $(4 x - 5) (4 x - 5)$ 。

$4 \int x^{2} ((4 x - 5) (4 x - 5)) d x$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$4 \int x^{2} (4 x (4 x - 5) - 5 (4 x - 5)) d x$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$4 \int x^{2} (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x - 5)) d x$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$4 \int x^{2} (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.5

运用分配律。

$4 \int x^{2} (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x) - 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.6

运用分配律。

$4 \int x^{2} (4 x (4 x)) + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x) - 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.7

运用分配律。

$4 \int x^{2} (4 x (4 x)) + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.8

移动 $x$ 。

$4 \int x^{2} (4 \cdot 4 x \cdot x) + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.9

移动括号。

$4 \int x^{2} (4 \cdot 4 x) x + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.10

移动括号。

$4 \int x^{2} (4 \cdot 4) x \cdot x + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.11

移动 $x^{2}$ 。

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.12

移动 $x$ 。

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + x^{2} (4 \cdot - 5 x) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.13

移动括号。

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + x^{2} (4 \cdot - 5) x + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.14

移动 $x^{2}$ 。

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.15

移动括号。

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x + x^{2} (- 5 \cdot 4) x + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.16

移动 $x^{2}$ 。

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

解题步骤 2.17

移动 $x^{2}$ 。

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.18

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$4 \int 16 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int 16 (x^{2} x^{1}) x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \int 16 x^{2 + 1} x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.21

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \int 16 x^{3} x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int 16 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \int 16 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.24

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$4 \int 16 x^{4} + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.25

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.26

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int 16 x^{4} - 20 (x^{2} x^{1}) - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{2 + 1} - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.28

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.29

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.30

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 (x^{2} x^{1}) - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.31

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2 + 1} - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.32

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{3} - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

解题步骤 2.33

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{3} + 25 x^{2} d x$

解题步骤 2.34

从 $- 20 x^{3}$ 中减去 $20 x^{3}$ 。

$4 \int 16 x^{4} - 40 x^{3} + 25 x^{2} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (\int 16 x^{4} d x + \int - 40 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

解题步骤 4

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$4 (16 \int x^{4} d x + \int - 40 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 40 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 40$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 40$ 移到积分外。

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 40 \int x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 40 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 25 x^{2} d x)$

解题步骤 8

由于 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $25$ 移到积分外。

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 40 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 \int x^{2} d x)$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 40 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$4 (\frac{16 x^{5}}{5} - 10 x^{4} + \frac{25 x^{3}}{3}) + C$

解题步骤 10.2

重新排序项。

$4 (\frac{16}{5} x^{5} - 10 x^{4} + \frac{25}{3} x^{3}) + C$

微积分学 示例

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