微积分学示例

$\frac{3 + x}{2 - 5 x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 + x$ 且 $g (x) = 2 - 5 x^{2}$ 。

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + x] - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 - 5 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \cdot 1 - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $2 - 5 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $2 - 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 相加。

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} + 5 (3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} + 5 (3 + x) (2 x)}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.12

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} + 10 (3 + x) x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{2 - 5 x^{2} + (10 \cdot 3 + 10 x) x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 - 5 x^{2} + 10 \cdot 3 x + 10 x \cdot x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 x \cdot x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 (x \cdot x)}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 x^{2}}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $- 5 x^{2}$ 和 $10 x^{2}$ 相加。

$\frac{2 + 5 x^{2} + 30 x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$\frac{5 x^{2} + 30 x + 2}{{(- 5 x^{2} + 2)}^{2}}$

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