微积分学示例

$2 \sin^{2} (x) + 1$

解题步骤 1

将 $2 \sin^{2} (x) + 1$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (x) + 1 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 \sin^{2} (x) d x + \int d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \sin^{2} (x) d x + \int d x$

解题步骤 6

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (x)$ 的形式。

$2 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x) + \int d x$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

解题步骤 8.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$1 \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

解题步骤 8.3

将 $\int 1 - \cos (2 x) d x$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$x + C + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x + C - \int \cos (2 x) d x + \int d x$

解题步骤 12

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 12.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 12.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 12.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int d x$

解题步骤 13

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u + \int d x$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int d x$

解题步骤 15

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + \int d x$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + x + C$

解题步骤 17

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + 2 x + C$

解题步骤 17.2

化简。

$- \frac{1}{2} \sin (u) + 2 x + C$

解题步骤 18

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

解题步骤 19

答案是函数 $f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

微积分学 示例

微积分学示例