微积分学示例

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 x - x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{1}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{y}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 4.2

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0 + 0$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ 和 $0$ 相加。

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0$

解题步骤 5.2.2

将 $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ 和 $0$ 相加。

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$2 x + y - \frac{1}{x^{2}}$

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