微积分学示例

$x^{2} e^{- x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.5

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

重新排序项。

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 1.7.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.8.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.9

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.12

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.13

将 $e^{- x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 (e^{- x^{2}} (x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.4

从 $- 6 e^{- x^{2}} x^{2}$ 中减去 $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.4.1

移动 $e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.4.2

从 $- 6 x^{2} e^{- x^{2}}$ 中减去 $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.5

将 $4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.5

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

解题步骤 4.1.7

化简。

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解题步骤 4.1.7.1

重新排序项。

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.1.7.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ 。

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ 中分解出因数 $2 x e^{- x^{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ 中分解出因数 $2 x e^{- x^{2}}$ 。

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $2 x e^{- x^{2}}$ 中分解出因数 $2 x e^{- x^{2}}$ 。

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1) = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1)$ 中分解出因数 $2 x e^{- x^{2}}$ 。

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.3

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$2 x e^{- x^{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.4

因数。

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解题步骤 5.2.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$2 x e^{- x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

解题步骤 5.2.4.2

去掉多余的括号。

$2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $e^{- x^{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $e^{- x^{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $e^{- x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 5.5.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.5.2.3

$e^{- x^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.6

将 $1 + x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $1 + x$ 设为等于 $0$ 。

$1 + x = 0$

解题步骤 5.6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5.7

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 。

$1 - x = 0$

解题步骤 5.7.2

求解 $x$ 的 $1 - x = 0$ 。

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解题步骤 5.7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = - 1$

解题步骤 5.7.2.2

将 $- x = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.7.2.2.1

将 $- x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.7.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.7.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.8

最终解为使 $2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1, 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 1, 1$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 {(0)}^{4} e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{- 0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 10 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.8

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 e^{- 0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.11

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.12

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.13

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 2 e^{- 0}$

解题步骤 9.1.14

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 2 e^{0}$

解题步骤 9.1.15

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.16

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 2$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 2$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 11.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 e^{- 0}$

解题步骤 11.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 e^{0}$

解题步骤 11.2.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f (0) = 0 \cdot 1$

解题步骤 11.2.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 {(- 1)}^{4} e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.3

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 e^{{(- 1)}^{3}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 e^{- 1} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 \frac{1}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.6

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{4}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.8

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.9

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.9.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.9.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{3}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.10

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.12

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.13

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.14

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.14.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.14.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 13.1.14.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

解题步骤 13.1.14.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.15

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

解题步骤 13.1.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

解题步骤 13.1.17

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

解题步骤 13.2

合并分数。

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解题步骤 13.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

解题步骤 13.2.2

化简表达式。

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解题步骤 13.2.2.1

从 $4$ 中减去 $10$ 。

$\frac{- 6 + 2}{e}$

解题步骤 13.2.2.2

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 4}{e}$

解题步骤 13.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{e}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 15.2.2

将 $e^{- {(- 1)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = e^{- {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 15.2.3

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 15.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

解题步骤 15.2.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{3}}$

解题步骤 15.2.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1) = e^{- 1}$

解题步骤 15.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 1) = \frac{1}{e}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $\frac{1}{e}$ 。

$y = \frac{1}{e}$

解题步骤 16

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 {(1)}^{4} e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

一的任意次幂都为一。

$4 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.3

一的任意次幂都为一。

$4 e^{- 1 \cdot 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 e^{- 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 \frac{1}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.6

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{4}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.8

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.9

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1 \cdot 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.12

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.13

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 17.1.14

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 17.1.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

解题步骤 17.1.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

解题步骤 17.1.17

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

解题步骤 17.2

合并分数。

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解题步骤 17.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

解题步骤 17.2.2

化简表达式。

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解题步骤 17.2.2.1

从 $4$ 中减去 $10$ 。

$\frac{- 6 + 2}{e}$

解题步骤 17.2.2.2

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 4}{e}$

解题步骤 17.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{e}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 19.2.2

将 $e^{- {(1)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = e^{- {(1)}^{2}}$

解题步骤 19.2.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 19.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = e^{- 1}$

解题步骤 19.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (1) = \frac{1}{e}$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $\frac{1}{e}$ 。

$y = \frac{1}{e}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最小值

$(- 1, \frac{1}{e})$ 是一个局部最大值

$(1, \frac{1}{e})$ 是一个局部最大值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例