微积分学示例

$\int_{- 3}^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x + 6) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} + x + 6 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ 和 $6 x]_{- 3}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $2$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ 在 $2$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.3

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.4

将 $- 27$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 27 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.5

组合 $27$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{27}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.6

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.6.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.6.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.7

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.8

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.10

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.10.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 27}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.10.2

将 $8$ 和 $27$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{35}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.11

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{35}{3}$ 。

$\frac{35}{2 \cdot 3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.12

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{35}{6} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{35}{6} + \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{35}{6} + \frac{4}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.15

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.15.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.15.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.15.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.15.2.2

约去公因数。

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.15.2.3

重写表达式。

$\frac{35}{6} + \frac{2}{1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.15.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{35}{6} + 2 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.16

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{35}{6} + 2 + 12 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.17

将 $2$ 和 $12$ 相加。

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.18

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.19

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + 6 \cdot - 3)$

解题步骤 7.2.3.20

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18)$

解题步骤 7.2.3.21

要将 $- 18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 7.2.3.22

组合 $- 18$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2})$

解题步骤 7.2.3.23

在公分母上合并分子。

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 18 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.3.24

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.24.1

将 $- 18$ 乘以 $2$ 。

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 36}{2}$

解题步骤 7.2.3.24.2

从 $9$ 中减去 $36$ 。

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{- 27}{2}$

解题步骤 7.2.3.25

将负号移到分数的前面。

$\frac{35}{6} + 14 - - \frac{27}{2}$

解题步骤 7.2.3.26

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{35}{6} + 14 + 1 (\frac{27}{2})$

解题步骤 7.2.3.27

将 $\frac{27}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{35}{6} + 14 + \frac{27}{2}$

解题步骤 7.2.3.28

要将 $14$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{35}{6} + 14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

解题步骤 7.2.3.29

组合 $14$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

解题步骤 7.2.3.30

在公分母上合并分子。

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2 + 27}{2}$

解题步骤 7.2.3.31

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.31.1

将 $14$ 乘以 $2$ 。

$\frac{35}{6} + \frac{28 + 27}{2}$

解题步骤 7.2.3.31.2

将 $28$ 和 $27$ 相加。

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2}$

解题步骤 7.2.3.32

要将 $\frac{55}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.33

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.33.1

将 $\frac{55}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.33.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{6}$

解题步骤 7.2.3.34

在公分母上合并分子。

$\frac{35 + 55 \cdot 3}{6}$

解题步骤 7.2.3.35

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.35.1

将 $55$ 乘以 $3$ 。

$\frac{35 + 165}{6}$

解题步骤 7.2.3.35.2

将 $35$ 和 $165$ 相加。

$\frac{200}{6}$

解题步骤 7.2.3.36

约去 $200$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.36.1

从 $200$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (100)}{6}$

解题步骤 7.2.3.36.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.36.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.36.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.36.2.3

重写表达式。

$\frac{100}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{100}{3}$

小数形式：

$33.\overline{3}$

带分数形式：

$33 \frac{1}{3}$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例