微积分学示例

$x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.5.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.3.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.9

组合 $4$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.4

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.9

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.3.5.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 2.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 2.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 2.3.9

化简分子。

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解题步骤 2.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

解题步骤 2.3.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

解题步骤 2.3.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

解题步骤 2.3.11

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 2.3.12

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 2.3.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.13.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

解题步骤 2.3.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 2.3.13.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

解题步骤 2.3.13.4

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

解题步骤 2.3.13.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

解题步骤 2.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

解题步骤 2.3.15

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 2.3.16

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 2.3.17

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

微积分学 示例

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