微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的奇次多项式在无穷远处的极限为负无穷。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

解题步骤 1.3

首项系数为正数的奇次多项式在无穷远处的极限为负无穷。

$\frac{- \infty}{- \infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{- \infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{- \infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $2 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + 0}$

解题步骤 3.6

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2}$

解题步骤 4

计算 $\frac{1}{2}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2}$

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