微积分学示例

$f (x) = \sqrt{8 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $8 x$ 重写为 $2^{2} \cdot (2 x)$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

解题步骤 1.1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

解题步骤 1.1.1.3

添加圆括号。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

解题步骤 1.1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.4

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.5

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.8

因为 $2^{\frac{3}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.12

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.13

化简分子。

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解题步骤 1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.14

将负号移到分数的前面。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.16

组合 $2^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.17

化简。

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解题步骤 1.17.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.17.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $2^{1}$ 移动到分子。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.18

通过指数相加将 $2^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $2^{- 1}$ 。

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解题步骤 1.18.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.18.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.18.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.18.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.18.5

化简分子。

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解题步骤 1.18.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.18.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.10

组合 $2^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.12

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.12.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.12.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.12.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.12.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.12.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

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