微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 2 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 2 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \cos (t)$ 为正数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $2 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 4 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $4 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

约去 $2 \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $2 \sin (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

解题步骤 2.2.2.2

对 $2 (\sin (t))$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

解题步骤 2.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (t)$ 的形式。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 10

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

将下限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 10.4

将上限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

解题步骤 10.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

解题步骤 10.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 10.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 10.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 10.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 11

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

解题步骤 13

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

计算 $t$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 14.2

化简表达式。

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解题步骤 14.2.1

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

解题步骤 14.2.2

将 $\frac{π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

解题步骤 14.3

化简。

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解题步骤 14.3.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

解题步骤 14.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

解题步骤 14.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

解题步骤 14.3.4

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 14.3.5

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 14.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

运用分配律。

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

解题步骤 14.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

解题步骤 14.4.2.2

约去公因数。

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

解题步骤 14.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

解题步骤 14.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 14.4.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

解题步骤 14.4.3.3

约去公因数。

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 14.4.3.4

重写表达式。

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 14.4.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

小数形式：

$0.18117214 \dots$

微积分学 示例

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