微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 1

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 2 \frac{0}{4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.1.3

使用极限幂法则把 ${(2 + x)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.1.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.1.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + 0)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.3.1.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \frac{0}{4 - 2^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 2.1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 2 \frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 2.1.3.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$- 2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- 2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- 2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- 2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

解题步骤 2.3.3

将 ${(2 + x)}^{2}$ 重写为 $(2 + x) (2 + x)$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 + x) (2 + x)]}$

解题步骤 2.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 + x) (2 + x)$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

运用分配律。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 (2 + x) + x (2 + x))]}$

解题步骤 2.3.4.2

运用分配律。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x))]}$

解题步骤 2.3.4.3

运用分配律。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

解题步骤 2.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.5.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

解题步骤 2.3.5.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x)]}$

解题步骤 2.3.5.1.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 x + x^{2})]}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 4 x + x^{2})]}$

解题步骤 2.3.6

根据加法法则， $4 - (4 + 4 x + x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

解题步骤 2.3.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

解题步骤 2.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ 。

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解题步骤 2.3.8.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (4 + 4 x + x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]}$

解题步骤 2.3.8.2

根据加法法则， $4 + 4 x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

解题步骤 2.3.8.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

解题步骤 2.3.8.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

解题步骤 2.3.8.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

解题步骤 2.3.8.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + 2 x)}$

解题步骤 2.3.8.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 + 2 x)}$

解题步骤 2.3.8.8

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (4 + 2 x)}$

解题步骤 2.3.9

化简。

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解题步骤 2.3.9.1

运用分配律。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 x}$

解题步骤 2.3.9.2

合并项。

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解题步骤 2.3.9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 1 \cdot 2 x}$

解题步骤 2.3.9.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 2 x}$

解题步骤 2.3.9.2.3

从 $0$ 中减去 $- (- 4 - 2 x)$ 。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 4 - 2 x}$

解题步骤 2.3.9.3

重新排序项。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x - 4}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

解题步骤 3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 4}$

解题步骤 3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}$

解题步骤 3.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \frac{1}{- 2 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$- 2 \frac{1}{0 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 2 \frac{1}{0 - 4}$

解题步骤 5.1.3

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$- 2 (\frac{1}{- 4})$

解题步骤 5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{1}{- 4}$

解题步骤 5.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 5.2.4

重写表达式。

$- \frac{1}{- 2}$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.4

乘以 $- - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

微积分学 示例

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