微积分学示例

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

解题步骤 1

将 $\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{6}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

解题步骤 5

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$6 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \int x^{- 3} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

解题步骤 8.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

解题步骤 9

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{2 x} d x + \int 7 d x$

解题步骤 10

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 7 d x$

解题步骤 11

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 7 d x$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 7 d x$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 4$ 。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

解题步骤 13.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

解题步骤 13.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

解题步骤 13.2.2.2

约去公因数。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

解题步骤 13.2.2.3

重写表达式。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

解题步骤 13.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u + \int 7 d x$

解题步骤 14

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + \int 7 d x$

解题步骤 15

应用常数不变法则。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + 7 x + C$

解题步骤 16

化简。

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{u} + 7 x + C$

解题步骤 17

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

解题步骤 18

答案是函数 $f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

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