微积分学示例

$y = 2 \sin (x - \frac{π}{2})$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x - \frac{π}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{2})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{2})]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - \frac{π}{2}$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $x - \frac{π}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\cos (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x - \frac{π}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ 。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.3.3

因为 $- \frac{π}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

解题步骤 1.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (x - \frac{π}{2})$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x - \frac{π}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x - \frac{π}{2})]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x - \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - \frac{π}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $x - \frac{π}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 (- \sin (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 2 (\sin (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x - \frac{π}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3.4

因为 $- \frac{π}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

解题步骤 2.3.5.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2})$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$

解题步骤 4

将 $2 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $2 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x - \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x - \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\cos (x - \frac{π}{2})$ 除以 $1$ 。

$\cos (x - \frac{π}{2}) = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\cos (x - \frac{π}{2}) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x - \frac{π}{2} = \arccos (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 7

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π + π}{2}$

解题步骤 7.3

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{2 π}{2}$

解题步骤 7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

约去公因数。

$x = \frac{2 π}{2}$

解题步骤 7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$x = π$

解题步骤 8

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x - \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 9.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x - \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.2

合并分数。

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解题步骤 9.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x - \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x - \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 9.1.3

化简分子。

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解题步骤 9.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x - \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 9.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{3 π + π}{2}$

解题步骤 9.2.3

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{4 π}{2}$

解题步骤 9.2.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (2 π)}{2}$

解题步骤 9.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

解题步骤 9.2.4.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.4.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2 π}{1}$

解题步骤 9.2.4.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 10

方程 $x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = π, 2 π$

解题步骤 11

计算在 $x = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sin ((π) - \frac{π}{2})$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 12.2

合并分数。

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解题步骤 12.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 12.2.2

在公分母上合并分子。

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

解题步骤 12.3

化简分子。

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解题步骤 12.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$- 2 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

解题步骤 12.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 12.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 13

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = π$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = π$ 是一个极大值

解题步骤 14

求 $x = π$ 时的 y 值。

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解题步骤 14.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = 2 \sin ((π) - \frac{π}{2})$

解题步骤 14.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (π) = 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 14.2.2

合并分数。

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解题步骤 14.2.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 14.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

解题步骤 14.2.3

化简分子。

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解题步骤 14.2.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (π) = 2 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

解题步骤 14.2.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$f (π) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 14.2.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = 2 \cdot 1$

解题步骤 14.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = 2$

解题步骤 14.2.6

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 15

计算在 $x = 2 π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sin ((2 π) - \frac{π}{2})$

解题步骤 16

计算二阶导数。

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解题步骤 16.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 16.2

合并分数。

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解题步骤 16.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 16.2.2

在公分母上合并分子。

$- 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

解题步骤 16.3

化简分子。

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解题步骤 16.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (\frac{4 π - π}{2})$

解题步骤 16.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 16.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 16.6

乘以 $- 2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 16.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \cdot - 1$

解题步骤 16.6.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2$

解题步骤 17

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2 π$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2 π$ 是一个极小值

解题步骤 18

求 $x = 2 π$ 时的 y 值。

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解题步骤 18.1

使用表达式中的 $2 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (2 π) = 2 \sin ((2 π) - \frac{π}{2})$

解题步骤 18.2

化简结果。

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解题步骤 18.2.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2 π) = 2 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 18.2.2

合并分数。

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解题步骤 18.2.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 18.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

解题步骤 18.2.3

化简分子。

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解题步骤 18.2.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{4 π - π}{2})$

解题步骤 18.2.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 18.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (2 π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 18.2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (2 π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 18.2.6

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 18.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (2 π) = 2 \cdot - 1$

解题步骤 18.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (2 π) = - 2$

解题步骤 18.2.7

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 19

这些是 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{2})$ 的局部极值。

$(π, 2)$ 是一个局部最大值

$(2 π, - 2)$ 是一个局部最小值

解题步骤 20

微积分学 示例

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