微积分学示例

$y = 3 x^{3} - x - 3$

解题步骤 1

将 $y = 3 x^{3} - x - 3$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{3} - x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 x^{2} - 1 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $9 x^{2} - 1$ 和 $0$ 相加。

$9 x^{2} - 1$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$9 x^{2} = 1$

解题步骤 3.2

将 $9 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $9 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{9}$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 3.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

解题步骤 3.4.3

化简分母。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 3.4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{1}{3}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

解题步骤 4

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ 内的任一数字（例如 $- 3$ ）代入一阶导数 $9 x^{2} - 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

解题步骤 5.2.1.2

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$f' (- 3) = 81 - 1$

解题步骤 5.2.2

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$f' (- 3) = 80$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $80$ 。

$80$

解题步骤 6

将区间 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $9 x^{2} - 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

解题步骤 6.2.1.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 1$

解题步骤 6.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f' (0) = - 1$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 7

将区间 $(\frac{1}{3}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $9 x^{2} - 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

解题步骤 7.2.1.2

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$f' (3) = 81 - 1$

解题步骤 7.2.2

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$f' (3) = 80$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $80$ 。

$80$

解题步骤 8

由于一阶导数在 $x = - \frac{1}{3}$ 附近符号由正变为负，所以在 $x = - \frac{1}{3}$ 处有一个拐点。

解题步骤 9

求 $- \frac{1}{3}$ 的 y 坐标以求拐点。

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解题步骤 9.1

求 $f (- \frac{1}{3})$ 以求出 $- \frac{1}{3}$ 的 y 坐标。

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解题步骤 9.1.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2

化简 $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ 。

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解题步骤 9.1.2.1

去掉圆括号。

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 9.1.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.1.2.2.1.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.1.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.2.5.1

将 $- \frac{1}{27}$ 中前置负号移到分子中。

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.5.2

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.5.3

约去公因数。

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.5.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.7

乘以 $- (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 9.1.2.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 9.1.2.2.7.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

解题步骤 9.1.2.3

求公分母。

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解题步骤 9.1.2.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

解题步骤 9.1.2.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

解题步骤 9.1.2.3.3

将 $- 3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

解题步骤 9.1.2.3.4

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 9.1.2.3.5

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 9.1.2.3.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 9.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 9.1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 9.1.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

解题步骤 9.1.2.5.2

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 - 27}{9}$

解题步骤 9.1.2.5.3

从 $2$ 中减去 $27$ 。

$\frac{- 25}{9}$

解题步骤 9.1.2.5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{25}{9}$

解题步骤 9.2

以点的形式写出 $x$ 和 $y$ 坐标。

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

解题步骤 10

由于一阶导数在 $x = \frac{1}{3}$ 附近符号由负变为正，所以在 $x = \frac{1}{3}$ 处有一个拐点。

解题步骤 11

求 $\frac{1}{3}$ 的 y 坐标以求拐点。

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解题步骤 11.1

求 $f (\frac{1}{3})$ 以求出 $\frac{1}{3}$ 的 y 坐标。

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解题步骤 11.1.1

使用表达式中的 $\frac{1}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 11.1.2

化简 $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ 。

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解题步骤 11.1.2.1

去掉圆括号。

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 11.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 11.1.2.2.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 11.1.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 11.1.2.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 11.1.2.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.2.2.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 11.1.2.2.4.2

约去公因数。

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

解题步骤 11.1.2.2.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

解题步骤 11.1.2.3

求公分母。

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解题步骤 11.1.2.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

解题步骤 11.1.2.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

解题步骤 11.1.2.3.3

将 $- 3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

解题步骤 11.1.2.3.4

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 11.1.2.3.5

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.1.2.3.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 11.1.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

解题步骤 11.1.2.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 2 - 27}{9}$

解题步骤 11.1.2.5.3

从 $- 2$ 中减去 $27$ 。

$\frac{- 29}{9}$

解题步骤 11.1.2.5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{29}{9}$

解题步骤 11.2

以点的形式写出 $x$ 和 $y$ 坐标。

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

解题步骤 12

这些是拐点。

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

解题步骤 13

微积分学 示例

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