微积分学示例

$2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x^{2} + 2)$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x^{2} + 2)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (2 \cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (\cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$4 \cos (x^{2} + 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 4.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 4.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \cos (x^{2} + 2) (\sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 5.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + 0)$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x)$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$

解题步骤 5.5.3

重新排序 $- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$ 的因式。

$- 8 x \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2)$

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