微积分学示例

$\int - 2 (5 x + 1) e^{25 x^{2} + 10 x + 25} d x$

解题步骤 1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- 2 \int (5 x + 1) e^{25 x^{2} + 10 x + 25} d x$

解题步骤 2

使 $u = 25 x^{2} + 10 x + 25$ 。然后使 $d u = (50 x + 10) d x$ ，以便 $\frac{1}{10} d u = (5 x + 1) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 25 x^{2} + 10 x + 25$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $25 x^{2} + 10 x + 25$ 求导。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 25]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $25 x^{2} + 10 x + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.4.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.5.1

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$50 x + 10 + 0$

解题步骤 2.1.5.2

将 $50 x + 10$ 和 $0$ 相加。

$50 x + 10$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 2 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

解题步骤 3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$- 2 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{10}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{10}$ 移到积分外。

$- 2 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{10} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.2

约去 $- 2$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{10} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{5} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

解题步骤 7

化简。

$- \frac{1}{5} e^{u} + C$

解题步骤 8

使用 $25 x^{2} + 10 x + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{5} e^{25 x^{2} + 10 x + 25} + C$

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