微积分学示例

$f (x) = a x^{2} + 7 x - 3$

解题步骤 1

二次函数最小值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是正数，则函数的最小值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 2.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = - \frac{7}{2}$

解题步骤 3

计算 $f (- \frac{7}{2})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- \frac{7}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = a {(- \frac{7}{2})}^{2} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

对 $- \frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2.1.1.2

对 $\frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{7}{2}) = a (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2.1.3

将 $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2.1.4

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{4}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2.1.6

组合 $a$ 和 $\frac{49}{4}$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{a \cdot 49}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2.1.7

将 $49$ 移到 $a$ 的左侧。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 \cdot a}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2.1.8

乘以 $7 (- \frac{7}{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - 7 (\frac{7}{2}) - 3$

解题步骤 3.2.1.8.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} - 3$

解题步骤 3.2.1.8.3

将 $- 7$ 乘以 $7$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49}{2} - 3$

解题步骤 3.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3$

解题步骤 3.2.2

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 6}{2}$

解题步骤 3.2.5.2

从 $- 49$ 中减去 $6$ 。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 55}{2}$

解题步骤 3.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

解题步骤 3.2.7

最终答案为 $\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$ 。

$\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

解题步骤 4

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最小值出现的位置。

$(- \frac{7}{2}, \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2})$

解题步骤 5

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