微积分学示例

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

解题步骤 1

将右边重写成指数为有理数的形式。

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解题步骤 1.1

去掉圆括号。

$V = \frac{1}{3} \cdot ((π r^{2}) h)$

解题步骤 1.2

去掉圆括号。

$V = \frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h))$

解题步骤 3

$V$ 对 $r$ 的导数为 $V'$ 。

$V'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

合并分数。

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解题步骤 4.1.1

组合 $π$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{π}{3} \cdot (r^{2} h)]$

解题步骤 4.1.2

组合 $r^{2}$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π}{3} \cdot h]$

解题步骤 4.1.3

组合 $\frac{r^{2} π}{3}$ 和 $h$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π h}{3}]$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{π h}{3}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{r^{2} π h}{3}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 。

$\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{π h}{3} (2 r)$

解题步骤 4.4

合并分数。

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解题步骤 4.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{π h}{3}$ 。

$\frac{2 (π h)}{3} r$

解题步骤 4.4.2

组合 $\frac{2 (π h)}{3}$ 和 $r$ 。

$\frac{2 π h r}{3}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$V' = \frac{2 π h r}{3}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d V}{d r}$ 替换 $V'$ 。

$\frac{d V}{d r} = \frac{2 π h r}{3}$

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