微积分学示例

$\int [3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}}] d t$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int 3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 4

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 5.2

通过将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 (\tan (t) + C) + \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

解题步骤 5.3

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{- \frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (\tan (t) + C) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 7

化简。

$3 \tan (t) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

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