微积分学示例

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ 重写为 $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ 。

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

乘以 $\tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.1.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.3.1.2.1

将 $\tan (x)$ 和 $\cot (x)$ 重新排序。

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $\tan (x) \cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.2.3

约去公因数。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.3

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.3.1.3.1

将 $\cot (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.3.2

约去公因数。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.4

乘以 $\cot (x) \cot (x)$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.1

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.1.4.2

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

解题步骤 4.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 4.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 9

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 11

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (x)$ 的形式。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 14

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简。

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解题步骤 15.1.1

将 $- x$ 和 $2 x$ 相加。

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

解题步骤 15.1.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

解题步骤 15.1.3

将 $C + \tan (x) + C + C$ 和 $0$ 相加。

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

解题步骤 15.2

化简。

$\tan (x) - \cot (x) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$

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