微积分学示例

$\int \frac{x + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

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解题步骤 1.1

从 $x + 2 x^{2} + 3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{x^{1} + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

解题步骤 1.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot 1 + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

解题步骤 1.1.3

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + 3 x^{3}}{x} d x$

解题步骤 1.1.4

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

解题步骤 1.1.5

从 $x \cdot 1 + x (2 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

解题步骤 1.1.6

从 $x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

解题步骤 1.2.2

用 $1 + 2 x + 3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\int 1 + 2 x + 3 x^{2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x + C + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x + C + 2 \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 \int x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$x + x^{2} + 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

解题步骤 8.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1

约去公因数。

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

解题步骤 8.2.3.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x + x^{2} + x^{3} + C$

微积分学 示例

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