微积分学示例

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

将 $2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

组合 $2^{\sqrt{x}}$ 和 $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ 。

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 5

由于 $\ln (2)$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\ln (2)$ 移到积分外。

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 6.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 6.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 6.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 6.4.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

使 $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $x^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 7.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 7.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 7.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 7.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 7.1.6

化简分子。

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解题步骤 7.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 7.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 7.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.1.8

化简。

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解题步骤 7.1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.1.8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $2^{u_{1}}$ 。

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解题步骤 8.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 9

使 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $1 + u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $1 + u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 9.1.3

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 9.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 9.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 9.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10

$2^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ 。

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ 重写为 $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ 。

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\ln (2)$ 和 $\frac{1}{\ln (2)}$ 。

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

解题步骤 11.2.2

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

解题步骤 11.2.2.2

重写表达式。

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

解题步骤 11.2.3

将 $2^{u_{2}}$ 乘以 $1$ 。

$2^{u_{2}} + C$

解题步骤 12

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 12.1

使用 $1 + u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2^{1 + u_{1}} + C$

解题步骤 12.2

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

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