微积分学示例

$\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (5 + 2 x^{4}) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{- 2} d x$

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{- 2} d x$

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{- 2} d x$

解题步骤 5

乘以 $(5 + 2 x^{4}) x^{- 2}$ 。

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{4} x^{- 2} d x$

解题步骤 6

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$\int 5 x^{- 2} + 2 (x^{- 2} x^{4}) d x$

解题步骤 6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{- 2 + 4} d x$

解题步骤 6.3

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{2} d x$

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{2} d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

解题步骤 8

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$5 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x^{2} d x$

解题步骤 10

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x^{2} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$5 (- \frac{1}{x}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \frac{1}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 12.2.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{- 5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 12.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 12.2.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- \frac{5}{x} + 2 \frac{x^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.2.5

组合 $2$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$- \frac{5}{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

$- \frac{5}{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.3

重新排序项。

$- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

$- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$