微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x}{9 - x^{2}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 4 x^{2} + 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} + lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} + lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3^{2} + 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.7.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27 - 4 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{27 - 4 \cdot 9 + 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{27 - 36 + 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27 - 36 + 9}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7.2

从 $27$ 中减去 $36$ 。

$\frac{- 9 + 9}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7.3

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{9 - lim_{x \to 3} x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{9 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{9 - 3^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{0}{9 - 9}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x}{9 - x^{2}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $9 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{0 - (2 x)}$

解题步骤 1.3.8.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{0 - 2 x}$

解题步骤 1.3.9

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{- 2 x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{- 2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 8 x + 3}{x}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 8 x + 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 2.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 2.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 2.6

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 2.7

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 3

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 \cdot 3^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 3.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{3 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 3}{3}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 3}{3}$

解题步骤 4.2

约去 $3 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $3 \cdot 3^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2}) - 8 \cdot 3 + 3}{3}$

解题步骤 4.2.2

从 $- 8 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2}) + 3 \cdot - 8 + 3}{3}$

解题步骤 4.2.3

从 $3 (3^{2}) + 3 \cdot - 8$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8) + 3}{3}$

解题步骤 4.2.4

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8) + 3 \cdot 1}{3}$

解题步骤 4.2.5

从 $3 (3^{2} - 8) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8 + 1)}{3}$

解题步骤 4.2.6

约去公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8 + 1)}{3 (1)}$

解题步骤 4.2.6.2

约去公因数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (3^{2} - 8 + 1)}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{2} - 8 + 1}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $3^{2} - 8 + 1$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} (3^{2} - 8 + 1)$

解题步骤 4.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} (9 - 8 + 1)$

解题步骤 4.4

从 $9$ 中减去 $8$ 。

$- \frac{1}{2} (1 + 1)$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.6.3

重写表达式。

$- 1$

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