微积分学示例

$\int \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 + \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- d u = \sin (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 + \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 + \cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $3 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - \sin (x)$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 3

将负号移到分数的前面。

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 7

化简。

$- 4 \ln (| u |) + C$

解题步骤 8

使用 $3 + \cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$

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