微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1^{2}$

解题步骤 2.3

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2^{2}$

解题步骤 2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 2.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ 重写为 ${u_{1}}^{- 1}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.2

约去公因数。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.3

重写表达式。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ 重写为 ${u_{1}}^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 4$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4.2.2

约去公因数。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4.2.3

重写表达式。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ 和 ${u_{1}}^{- 2}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${u_{1}}^{- 2}$ 移动到分母。

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

解题步骤 5.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ 。然后使 $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ ，以便 $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 {u_{1}}^{- 1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 {u_{1}}^{- 1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

解题步骤 6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

解题步骤 6.1.5

化简。

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解题步骤 6.1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

解题步骤 6.1.5.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

解题步骤 6.1.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

解题步骤 6.3.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

解题步骤 6.3.2.2

重写表达式。

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 6.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 10

计算 $e^{u_{2}}$ 在 $\frac{1}{2}$ 处和在 $2$ 处的值。

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

解题步骤 11.2

组合 $e^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

解题步骤 11.3

乘以 $- \frac{1}{4} (- e^{2})$ 。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

解题步骤 11.3.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{2}$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

小数形式：

$1.43508370 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

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