微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} - 5 x + 7}{1 - x + x^{2} - x^{3}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

解题步骤 5

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} x^{3}}$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} x^{3}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} x^{3}}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

解题步骤 10

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

解题步骤 10.3

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

解题步骤 10.4

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

解题步骤 10.5

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{- 1 - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 11.1.2

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 1 + 5 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 11.1.3

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{4 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 11.1.4

将 $4$ 和 $7$ 相加。

$\frac{11}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{11}{1 + 1 + 1 - {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 11.2.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 11.2.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 11.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + {(- 1)}^{1 + 3}}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + {(- 1)}^{4}}$

解题步骤 11.2.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + 1}$

解题步骤 11.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{11}{2 + 1 + 1}$

解题步骤 11.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{11}{3 + 1}$

解题步骤 11.2.6

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{11}{4}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{11}{4}$

小数形式：

$2.75$

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