微积分学示例

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

解题步骤 1

将 $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ 书写为一个函数。

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

解题步骤 4

使 $u = x + 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

解题步骤 5.2

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.7

将 $u$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.8

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.9

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.12

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.14

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.15

提取负因数。

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.16

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.17

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.20

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.21

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

解题步骤 6.24

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

解题步骤 6.25

从 $- u^{2}$ 中减去 $2 u^{2}$ 。

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

解题步骤 9

由于 $- 3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

解题步骤 11

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

解题步骤 12

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

解题步骤 13.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{u^{2}}{2}$ 。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

解题步骤 13.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.3.1

约去公因数。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

解题步骤 13.2.3.2

用 $u^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

解题步骤 14

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

微积分学 示例

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