微积分学示例

$z = {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3})$

解题步骤 2

$z$ 对 $x$ 的导数为 $z'$ 。

$z'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将负号移到分数的前面。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.7.3

组合 $2$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.7.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.8

因为 $y^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0)$

解题步骤 3.9

化简项。

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解题步骤 3.9.1

将 $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.9.2

组合 $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $3$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.9.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.9.4

组合 $\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 ${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

$\frac{6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.9.5

从 $6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.10

约去公因数。

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解题步骤 3.10.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 3.10.2

约去公因数。

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.10.3

重写表达式。

$\frac{2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

化简分子。

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解题步骤 3.11.1.1

将 ${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 重写为 $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{2 ((2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 3.11.1.2.1

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.2.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.2.3

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.11.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.11.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.11.1.3.1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 (2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.5

通过指数相加将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.11.1.3.1.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.5.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.5.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{1})}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.1.6

化简 $y^{1}$ 。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.2

将 $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

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解题步骤 3.11.1.3.2.1

移动 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.3.2.2

将 $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.4

运用分配律。

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.5

化简。

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解题步骤 3.11.1.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.1.5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.2

重新排序项。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$z' = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d z}{d x}$ 替换 $z'$ 。

$\frac{d z}{d x} = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

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