微积分学示例

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $3^{- (i + 1)}$ 和 $3^{- i}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $3^{- (i + 1)}$ 中分解出因数 $3^{- i}$ 。

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.1.2.2

约去公因数。

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.1.2.3

重写表达式。

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

解题步骤 2.2.1.2.4

用 $3^{- (i + 1) + i}$ 除以 $1$ 。

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

解题步骤 2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1

运用分配律。

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$r = 3^{- i - 1 + i}$

解题步骤 2.2.3

合并 $- i - 1 + i$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- i$ 和 $i$ 相加。

$r = 3^{0 - 1}$

解题步骤 2.2.3.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$r = 3^{- 1}$

解题步骤 2.2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$r = \frac{1}{3}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $- 2$ 代入 $3^{- i}$ 以替换 $i$ 。

$a = 3^{2}$

解题步骤 3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = 9$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将分数的分子和分母乘以 $3$ 。

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

解题步骤 5.1.2

合并。

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

解题步骤 5.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ 中前置负号移到分子中。

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $3^{6}$ 中分解出因数 $3$ 。

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.3.3

约去公因数。

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.3.4

重写表达式。

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.4

一的任意次幂都为一。

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.5

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.7

将负号移到分数的前面。

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.8

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{243}{243}$ 。

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.9

组合 $3$ 和 $\frac{243}{243}$ 。

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.10

在公分母上合并分子。

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.11

化简分子。

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解题步骤 5.4.11.1

将 $3$ 乘以 $243$ 。

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.11.2

从 $729$ 中减去 $1$ 。

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5

化简分母。

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解题步骤 5.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

解题步骤 5.5.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

解题步骤 5.6

将分子乘以分母的倒数。

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 5.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

从 $728$ 中分解出因数 $2$ 。

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 5.7.2

约去公因数。

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 5.7.3

重写表达式。

$9 (\frac{364}{243})$

解题步骤 5.8

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.1

从 $243$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 \frac{364}{9 (27)}$

解题步骤 5.8.2

约去公因数。

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

解题步骤 5.8.3

重写表达式。

$\frac{364}{27}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{364}{27}$

小数形式：

$13.\overline{481}$

带分数形式：

$13 \frac{13}{27}$

微积分学 示例

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