微积分学示例

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ 重写为 $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ 。

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

乘以 $\sin (2 x) \sin (2 x)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

解题步骤 4.3.1.1.2

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

解题步骤 4.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

解题步骤 4.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

解题步骤 4.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

解题步骤 4.3.1.3

乘以 $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.3.1.3.2

将 $\cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.3.1.3.3

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.3.1.3.4

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

解题步骤 4.3.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 4.3.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

解题步骤 4.3.2

重新排序 $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ 的因式。

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

解题步骤 4.3.3

从 $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ 中减去 $\cos (2 x) \sin (2 x)$ 。

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

解题步骤 4.4

移动 $\cos^{2} (2 x)$ 。

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

解题步骤 4.5

使用勾股恒等式。

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

解题步骤 8

使 $u_{2} = \cos (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = \cos (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $\cos (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 8.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 8.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 8.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 8.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 8.1.3

求微分。

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解题步骤 8.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

解题步骤 8.1.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (2 x)$

解题步骤 8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 9.2

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

解题步骤 11

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 13.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 13.3

将 $\int u_{2} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 14

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 15

化简。

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 16

使用 $\cos (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

解题步骤 17

答案是函数 $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

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