微积分学示例

$y = {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{3}$ 。

${(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}] + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + 5$ 。

${(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

${(x^{2} + 3)}^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $x^{2} + 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(x^{2} + 3)}^{2} (3 {(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $3$ 移到 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 的左侧。

$3 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$3 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.3.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$3 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.3.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 3$ 。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + {(x^{2} + 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + {(x^{2} + 5)}^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + {(x^{2} + 5)}^{3} (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 5)}^{3}$ 的左侧。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + 2 \cdot {(x^{2} + 5)}^{3} (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

解题步骤 3.5.2

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + 2 {(x^{2} + 5)}^{3} (x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + 2 {(x^{2} + 5)}^{3} (x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.5.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + 2 {(x^{2} + 5)}^{3} (x^{2} + 3) (2 x + 0)$

解题步骤 3.5.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + 2 {(x^{2} + 5)}^{3} (x^{2} + 3) (2 x)$

解题步骤 3.5.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + 4 {(x^{2} + 5)}^{3} (x^{2} + 3) x$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

从 $6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x + 4 {(x^{2} + 5)}^{3} (x^{2} + 3) x$ 中分解出因数 $2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

从 $6 {(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{2} x$ 中分解出因数 $2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x$ 。

$2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x (3 (x^{2} + 3)) + 4 {(x^{2} + 5)}^{3} (x^{2} + 3) x$

解题步骤 3.6.1.2

从 $4 {(x^{2} + 5)}^{3} (x^{2} + 3) x$ 中分解出因数 $2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x$ 。

$2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x (3 (x^{2} + 3)) + 2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x (2 (x^{2} + 5))$

解题步骤 3.6.1.3

从 $2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x (3 (x^{2} + 3)) + 2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x (2 (x^{2} + 5))$ 中分解出因数 $2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x$ 。

$2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5))$

解题步骤 3.6.2

重新排序 $2 (x^{2} + 3) {(x^{2} + 5)}^{2} x (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5))$ 的因式。

$2 x {(x^{2} + 5)}^{2} (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.3

将 ${(x^{2} + 5)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5)$ 。

$2 x ((x^{2} + 5) (x^{2} + 5)) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.4

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5)$ 。

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解题步骤 3.6.4.1

运用分配律。

$2 x (x^{2} (x^{2} + 5) + 5 (x^{2} + 5)) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.4.2

运用分配律。

$2 x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + 5 (x^{2} + 5)) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.4.3

运用分配律。

$2 x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.6.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.5.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.5.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 x (x^{4} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.5.1.2

将 $5$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$2 x (x^{4} + 5 \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.5.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$2 x (x^{4} + 5 x^{2} + 5 x^{2} + 25) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.5.2

将 $5 x^{2}$ 和 $5 x^{2}$ 相加。

$2 x (x^{4} + 10 x^{2} + 25) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.6

运用分配律。

$(2 x \cdot x^{4} + 2 x (10 x^{2}) + 2 x \cdot 25) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.7

化简。

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解题步骤 3.6.7.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.6.7.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$(2 (x^{4} x) + 2 x (10 x^{2}) + 2 x \cdot 25) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.7.1.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 (x^{4} x^{1}) + 2 x (10 x^{2}) + 2 x \cdot 25) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2 x^{4 + 1} + 2 x (10 x^{2}) + 2 x \cdot 25) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.7.1.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$(2 x^{5} + 2 x (10 x^{2}) + 2 x \cdot 25) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(2 x^{5} + 2 \cdot 10 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 25) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.7.3

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$(2 x^{5} + 2 \cdot 10 x \cdot x^{2} + 50 x) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.8

化简每一项。

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解题步骤 3.6.8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.8.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$(2 x^{5} + 2 \cdot 10 (x^{2} x) + 50 x) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.8.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 x^{5} + 2 \cdot 10 (x^{2} x^{1}) + 50 x) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2 x^{5} + 2 \cdot 10 x^{2 + 1} + 50 x) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.8.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(2 x^{5} + 2 \cdot 10 x^{3} + 50 x) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.8.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$(2 x^{5} + 20 x^{3} + 50 x) (3 (x^{2} + 3) + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.9

化简每一项。

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解题步骤 3.6.9.1

运用分配律。

$(2 x^{5} + 20 x^{3} + 50 x) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.9.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$(2 x^{5} + 20 x^{3} + 50 x) (3 x^{2} + 9 + 2 (x^{2} + 5)) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.9.3

运用分配律。

$(2 x^{5} + 20 x^{3} + 50 x) (3 x^{2} + 9 + 2 x^{2} + 2 \cdot 5) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.9.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$(2 x^{5} + 20 x^{3} + 50 x) (3 x^{2} + 9 + 2 x^{2} + 10) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.10

将 $3 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$(2 x^{5} + 20 x^{3} + 50 x) (5 x^{2} + 9 + 10) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.11

将 $9$ 和 $10$ 相加。

$(2 x^{5} + 20 x^{3} + 50 x) (5 x^{2} + 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.12

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{5} + 20 x^{3} + 50 x) (5 x^{2} + 19)$ 。

$(2 x^{5} (5 x^{2}) + 2 x^{5} \cdot 19 + 20 x^{3} (5 x^{2}) + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13

化简每一项。

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解题步骤 3.6.13.1

使用乘法的交换性质重写。

$(2 \cdot 5 x^{5} x^{2} + 2 x^{5} \cdot 19 + 20 x^{3} (5 x^{2}) + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.13.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$(2 \cdot 5 (x^{2} x^{5}) + 2 x^{5} \cdot 19 + 20 x^{3} (5 x^{2}) + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2 \cdot 5 x^{2 + 5} + 2 x^{5} \cdot 19 + 20 x^{3} (5 x^{2}) + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.2.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$(2 \cdot 5 x^{7} + 2 x^{5} \cdot 19 + 20 x^{3} (5 x^{2}) + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$(10 x^{7} + 2 x^{5} \cdot 19 + 20 x^{3} (5 x^{2}) + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.4

将 $19$ 乘以 $2$ 。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 20 x^{3} (5 x^{2}) + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.5

使用乘法的交换性质重写。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 20 \cdot 5 x^{3} x^{2} + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.13.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 20 \cdot 5 (x^{2} x^{3}) + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 20 \cdot 5 x^{2 + 3} + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.6.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 20 \cdot 5 x^{5} + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.7

将 $20$ 乘以 $5$ 。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 100 x^{5} + 20 x^{3} \cdot 19 + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.8

将 $19$ 乘以 $20$ 。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 100 x^{5} + 380 x^{3} + 50 x (5 x^{2}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.9

使用乘法的交换性质重写。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 100 x^{5} + 380 x^{3} + 50 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.13.10.1

移动 $x^{2}$ 。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 100 x^{5} + 380 x^{3} + 50 \cdot 5 (x^{2} x) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.10.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.13.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 100 x^{5} + 380 x^{3} + 50 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 100 x^{5} + 380 x^{3} + 50 \cdot 5 x^{2 + 1} + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 100 x^{5} + 380 x^{3} + 50 \cdot 5 x^{3} + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.11

将 $50$ 乘以 $5$ 。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 100 x^{5} + 380 x^{3} + 250 x^{3} + 50 x \cdot 19) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.13.12

将 $19$ 乘以 $50$ 。

$(10 x^{7} + 38 x^{5} + 100 x^{5} + 380 x^{3} + 250 x^{3} + 950 x) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.14

将 $38 x^{5}$ 和 $100 x^{5}$ 相加。

$(10 x^{7} + 138 x^{5} + 380 x^{3} + 250 x^{3} + 950 x) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.15

将 $380 x^{3}$ 和 $250 x^{3}$ 相加。

$(10 x^{7} + 138 x^{5} + 630 x^{3} + 950 x) (x^{2} + 3)$

解题步骤 3.6.16

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(10 x^{7} + 138 x^{5} + 630 x^{3} + 950 x) (x^{2} + 3)$ 。

$10 x^{7} x^{2} + 10 x^{7} \cdot 3 + 138 x^{5} x^{2} + 138 x^{5} \cdot 3 + 630 x^{3} x^{2} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17

化简每一项。

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解题步骤 3.6.17.1

通过指数相加将 $x^{7}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.17.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$10 (x^{2} x^{7}) + 10 x^{7} \cdot 3 + 138 x^{5} x^{2} + 138 x^{5} \cdot 3 + 630 x^{3} x^{2} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 x^{2 + 7} + 10 x^{7} \cdot 3 + 138 x^{5} x^{2} + 138 x^{5} \cdot 3 + 630 x^{3} x^{2} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.1.3

将 $2$ 和 $7$ 相加。

$10 x^{9} + 10 x^{7} \cdot 3 + 138 x^{5} x^{2} + 138 x^{5} \cdot 3 + 630 x^{3} x^{2} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.2

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{5} x^{2} + 138 x^{5} \cdot 3 + 630 x^{3} x^{2} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.17.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 (x^{2} x^{5}) + 138 x^{5} \cdot 3 + 630 x^{3} x^{2} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{2 + 5} + 138 x^{5} \cdot 3 + 630 x^{3} x^{2} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.3.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 138 x^{5} \cdot 3 + 630 x^{3} x^{2} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.4

将 $3$ 乘以 $138$ 。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{3} x^{2} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.5

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.17.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 (x^{2} x^{3}) + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{2 + 3} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.5.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{5} + 630 x^{3} \cdot 3 + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.6

将 $3$ 乘以 $630$ 。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{5} + 1890 x^{3} + 950 x \cdot x^{2} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.17.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{5} + 1890 x^{3} + 950 (x^{2} x) + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.17.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{5} + 1890 x^{3} + 950 (x^{2} x^{1}) + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{5} + 1890 x^{3} + 950 x^{2 + 1} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{5} + 1890 x^{3} + 950 x^{3} + 950 x \cdot 3$

解题步骤 3.6.17.8

将 $3$ 乘以 $950$ 。

$10 x^{9} + 30 x^{7} + 138 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{5} + 1890 x^{3} + 950 x^{3} + 2850 x$

解题步骤 3.6.18

将 $30 x^{7}$ 和 $138 x^{7}$ 相加。

$10 x^{9} + 168 x^{7} + 414 x^{5} + 630 x^{5} + 1890 x^{3} + 950 x^{3} + 2850 x$

解题步骤 3.6.19

将 $414 x^{5}$ 和 $630 x^{5}$ 相加。

$10 x^{9} + 168 x^{7} + 1044 x^{5} + 1890 x^{3} + 950 x^{3} + 2850 x$

解题步骤 3.6.20

将 $1890 x^{3}$ 和 $950 x^{3}$ 相加。

$10 x^{9} + 168 x^{7} + 1044 x^{5} + 2840 x^{3} + 2850 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 10 x^{9} + 168 x^{7} + 1044 x^{5} + 2840 x^{3} + 2850 x$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{9} + 168 x^{7} + 1044 x^{5} + 2840 x^{3} + 2850 x$

微积分学 示例

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