微积分学示例

$- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- 5 y' + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3} y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3} y$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ 。

$- 5 y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

$- 5 y' + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 2.3.5

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 (2 x)$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 4 x$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$- 5 y' + 4 (x^{3} y') + 4 (3 y x^{2}) + 4 x$

解题步骤 2.5.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- 5 y' + 4 x^{3} y' + 12 y x^{2} + 4 x$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$4 x^{3} y' + 12 x^{2} y + 4 x - 5 y'$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$4 x^{3} y' + 12 x^{2} y + 4 x - 5 y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $12 x^{2} y$ 。

$4 x^{3} y' + 4 x - 5 y' = - 12 x^{2} y$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$4 x^{3} y' - 5 y' = - 12 x^{2} y - 4 x$

解题步骤 5.2

从 $4 x^{3} y' - 5 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (4 x^{3}) - 5 y' = - 12 x^{2} y - 4 x$

解题步骤 5.2.2

从 $- 5 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (4 x^{3}) + y' \cdot - 5 = - 12 x^{2} y - 4 x$

解题步骤 5.2.3

从 $y' (4 x^{3}) + y' \cdot - 5$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$

解题步骤 5.3

将 $y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$ 中的每一项除以 $4 x^{3} - 5$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$ 中的每一项都除以 $4 x^{3} - 5$ 。

$\frac{y' (4 x^{3} - 5)}{4 x^{3} - 5} = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $4 x^{3} - 5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (4 x^{3} - 5)}{4 x^{3} - 5} = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 12 x^{2} y - 4 x}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 12 x^{2} y - 4 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $- 12 x^{2} y$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$y' = \frac{4 x (- 3 x y) - 4 x}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$y' = \frac{4 x (- 3 x y) + 4 x (- 1)}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $4 x (- 3 x y) + 4 x (- 1)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$y' = \frac{4 x (- 3 x y - 1)}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $- 3 x y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{4 x (- (3 x y) - 1)}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y' = \frac{4 x (- (3 x y) - 1 (1))}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3.5

从 $- (3 x y) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{4 x (- (3 x y + 1))}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.6.1

将 $- (3 x y + 1)$ 重写为 $- 1 (3 x y + 1)$ 。

$y' = \frac{4 x (- 1 (3 x y + 1))}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{(4 x) (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 5.3.3.6.3

将 $- \frac{(4 x) (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$ 中的因式重新排序。

$y' = - \frac{4 x (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$

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