微积分学示例

$y = {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \frac{x - 5}{2 x + 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 5$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $2 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 (x - 5)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

合并 $2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{0 + 1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 + 10}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $1$ 和 $10$ 相加。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

对 $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ 运用乘积法则。

$3 \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{3 {(x - 5)}^{2} \cdot 11}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.3

将 $11$ 乘以 $3$ 。

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.4

通过指数相加将 ${(2 x + 1)}^{2}$ 乘以 ${(2 x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2 + 2}}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

微积分学 示例

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